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认知即思索:黎曼ζ函数是什么?(3)

yund56 2025-06-02 22:06 12 浏览

本作较为硬核，大家可以先读之前的两篇再读此文。——笔者

这一次，我们把目光投向了黎曼函数最为神秘的那一部分——Re（s）∈（0，1）

它满足这个表达式：

黎曼Zeta函数在Re（s）∈（0，1）这一段本来是发散的，经过解析延拓后，黎曼把它弄得收敛了：

黎曼Zeta函数在Re（s）∈（0，1）这一段具有对称性，它满足：

在黎曼ζ函数中，唯独S=1这个点是不可解析的奇点，也就是无定义的点，我们为了保证黎曼ζ函数解析延拓后的对称性，令

（给不可解析的点赋一个值，这样做只是为了保留对称性，实际上这个不可解析点并不等于什么值，它是发散的，以我们目前的认知是无法研究奇点内部的性质的）

于是，现在我们得到了整个复平面内黎曼ζ函数的表达式，这就是黎曼ζ函数的全貌：

我们把这4个函数部分“合4为1”，可以得到一个综合表达式：

好了，准备工作终于算是做完了，让我们引出传说中的黎曼猜想：

黎曼猜想是什么，其实很“简单”就可以理解了，就是让你解复变函数条件下的方程：

1.首先，人们看了看Re（s）>1，发现没有零点，也就是s在这个区间里没有解。

2.接着，人们看了看负半平面的表达式，发现有解：

比如：

3.然后，人们取s=x+yi，发现负半平面没有零点了，它只有sinkπ的零点解。人们把sinkπ的这种解称为平凡零点。意思就是平凡的、寻常的ζ（s）=0的数值解。

最后，人们把目光投向了Re（s）∈[0，1）：

这下子可难倒了无数的人！

黎曼告诉人们——在Re（s）∈[0，1）范围内的使得ζ（s）为零的解有无穷无尽个，而黎曼认为所有的零解都位于1/2直线上，但是没能给出数学证明，这就是所谓的黎曼猜想。

有些人“不服”，他们做了大量数学实验寻找1/2直线以外的零点，企图推翻黎曼猜想。然而目前人们已经发现的前一亿亿亿亿...个零点都位于1/2这条直线上，还没能出现反例。

然而必须给出严格的数学证明，黎曼猜想才能算真正成立，因为一亿亿亿亿...在无穷大面前渺小不堪，没人能保证下一个验证的零点不会出问题。

我们把这种零点称作非平凡零点，意思就是不寻常的解。

欲知后事如何，请听下回分解~

黎曼函数方程

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