11　黎曼-西格尔公式

黎曼-西格尔公式的推导极其复杂，不可能在这里加以介绍。不过为了使读者对黎曼ζ函数非平凡零点的计算有一个大致了解，我们将对计算零点的基本思路作一个简单叙述，并给出黎曼-西格尔公式的表述（给出这一复杂公式的表述并不是为了显摆，而是因为我们将在第12章使用这一公式）。

读者们也许还记得，在第5章中我们曾经介绍过黎曼所引进的一个辅助函数

它的零点与黎曼ζ函数的非平凡零点重合。因此，我们可以通过对ξ（s）零点的计算来确定黎曼ζ函数的非平凡零点。这是计算黎曼ζ函数零点的基本思路。由于ξ（s）满足一个特殊的条件：ξ（s）=ξ（1-s），运用复变函数论中的反射原理（reflection principle）很容易证明（读者不妨自己试试），在Re（s）=1/2的直线（即黎曼猜想中的临界线）上ξ（s）的取值为实数。这表明在临界线上通过研究ξ（s）的符号改变就可以确定零点的存在。这是利用ξ（s）计算零点的一个极大的优势。接下来我们将只考虑s的取值在临界线上的情形，为此令s=1/2+it（t为正实数）。利用ξ（s）的定义可以证明（请读者自行完成）：

很明显，式（11-1）中第一个方括号内的表达式始终为负，因此在计算ξ（s）的符号改变——从而确定零点——时可以忽略。这表明要想确定黎曼ζ函数的非平凡零点，实际上只需研究式（11-1）中第二个方括号内的表达式就可以了。我们用Z（t）来标记这一表达式，即

至此，研究黎曼ζ函数的非平凡零点就归结为了研究Z（t）的零点，而后者又可以归结为研究Z（t）的符号改变。

那么黎曼-西格尔公式是什么呢？它就是Z（t）的渐近展开式，其具体表述为

其中

式（11-3）中的R（t）称为剩余项（remainder），其中的N为（t/2π）1/2的整数部分，R（t）中各项的系数分别为

其中p为（t/2π）1/2的分数部分，Ψ（n）（p）为Ψ（p）的n阶导数。

这就是西格尔从黎曼手稿中整理出来的计算黎曼ζ函数非平凡零点的公式。30确切地讲它只是计算黎曼ζ函数——或者更确切地讲函数Z（t）——的数值的公式，要想确定零点的位置还必须通过多次计算逐渐逼近，其工作量比单单计算黎曼ζ函数的数值大得多。读者们也许会感到奇怪，如此复杂的公式加上如此迂回的步骤，在没有计算机的年代里能有多大用处？的确，计算黎曼ζ函数的非平凡零点即便使用黎曼-西格尔公式也是极其繁复的工作，别的不说，只要看看C4中对Ψ（p）的导数竟高达12阶之多就足令人头疼了。但是同样一件工作，在一位只在饭后茶余瞥上几眼的过客眼里与一位对其倾注生命、不惜花费时光的数学家眼里，它的可行性是完全不同的。就像在一位普通人，甚或是一位普通数学家的眼里黎曼能做出如此深奥的数学贡献是不可思议的一样。

不过，也不要把黎曼-西格尔公式看得太过可怕，因为在第12章中，我们就将一起动手用这一公式来计算一个黎曼ζ函数的非平凡零点。当然，我们会适当偷点懒，也会用用计算器，甚至还要用点计算机软件。毕竟，我们与西格尔之间又隔了大半个世纪，具备了偷懒所需的信息和工具。然后，我们将继续我们的旅途，去欣赏那些勤奋的人们所完成的工作，那才是真正的风景。