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认知即思索:黎曼猜想和素数定理(1)

yund56 2025-06-02 22:06 39 浏览

让我们聊聊黎曼猜想和素数定律：

说起黎曼函数ζ(s)和素数定理，素数定律只是较弱的黎曼猜想，证明素数定理不能证明黎曼猜想，证明黎曼猜想可以间接证明素数定理。

π（x）指的是不超过（包括）的正素数的实际个数，它本身是具体的值，并不是“线性”的函数。但我们用两个非线性的函数近似表示这一实际素数的个数。

先看一部分，我们把：

Li（x）是最早由高斯发现的近似函数。它没办法用初等函数表示，但是可以写成幂级数的形式：

让它说人话，也就是：

现在再看第二部分

我们先解释大O的含义,这个大O代表函数变化的范围不能超过O,比如O(x）代表实际函数只能在-x和x围成的范围内变化：

误差项所表示的某种函数g（x）只要在O（f（x））所确定的范围内，它爱怎么变化就怎么变化，是初等函数还是亚函数，还是常数，还是log型或者什么性质的都无所谓。

我们看到，在2亿（200M）附近的突破了这个界限，不过无所谓，因为在“无限”面前是微不足道的。而用实验筛选出来的素数个数突破了要求的界限：

目前黎曼猜想的现状

哈代证明了在临界线上有无穷多个零点。李特尔伍德证明：

随着x的不断变化时正时负，同时康瑞(Conrey)在1989年证明至少有40%的零点位于临界线上。

我们不知道什么？

是否所有的（100%）的零点都位于x=1/2这条直线上？

我们想知道方程ζ(s)=0的数值解是否都在x=1/2这条直线上。如果都在，黎曼猜想就可以被证明。这个问题等价于：

这个命题通俗来讲就是说：将x=1/2这条直线上所有的复数点(1/2,it)代入黎曼ζ函数，所得到的“值”都被

所描述的曲线“包围”起来了，而这个ε可以取任何数（无论幂为多大的幂函数）都能实现对ζ(1/2,it)的“包围”。该命题也被称为林德洛夫猜想。而证明林德洛夫猜想也等价于直接证明之前的式子是成立的：