0.9循环等于1的证明

等于1，这句话一说出，肯定会有许多人反驳。说是0.99999999999……，是无限小数，1是有限整数，他从直观上就不相等。一个无限循环小数，和一个有限的数怎么可能相等？不管后面有多少个9，它也不是1。

这是一种直观判断。但是数学是一门严谨的学科，如果不相等，那必须给出证明，而不是我用眼睛看它就不相等。

如果要说直观，那不是更反直观。i甚至是虚数。

当然，说这么多，没有给证明，也不能说我说的就是对的。

下面，我先从不那么严谨的方式开始证明，把一些认知上的错误先指出来。

证明一：

这个当然是不严谨的证明，但是确不是许多人说的，无限小数不能进行四则运算。

很多人说，小学时数学老师就教过，无限小数不能进行四则运算。要么是因为这个数学老师自己是半桶水，要么是这个老师觉得对小学生没必要讲那么清楚。当然，也可能是记忆出现偏差，老师并不是这么说的。

我们对一个事的判断要有自己的认知，而不是老师说，老师说。老师不说的，自己就不思考了？

为什么无限小数不能进行四则运算？这是因为涉及到进位和退位的问题。比如乘法，我们的计算方式是从右边往左边算，因为会进位。

，要进一位，所以是108。

这才是无限小数不能进行四则运算的原因。因为无限小数，你不会知道最右边的数是什么，不能确定是不是要进位。

但如果是这种不需要进位的式子，其实从左边开始算和从右边开始算是没有区别的。

很简单的：

这样的式子错了吗？在有限的，可见的范围内，我们知道了它们没有进位，或者，进位了也不会影响后续的循环。所以，这里我们是可以进行四则运算的。

无限小数不能进行四则运算的说法实则大谬。真有数学老师说了这种话，那要怀疑他的毕业证是怎么拿到的了。

无限小数可以进行四则运算，但是，有些时候，我们并不一定能计算出准确的值。比如，这个式子，涉及到进位，所以不能从左边开始算，不能计算。

，这个式子，我们就进行了无限小数的四则运算。

无限小数没有那么特殊，游离于整个数学体系之外。

当然，我不准备用这个来证明，这不够严谨，或许在我没能想到的地方存在进位呢。不过，谁也不能否认是正确的吧？

证明二：

这个是我在网上看到的一个证明。

这构造了一个数列。

当n趋于无穷大时，极限是1，因此可证。

很多人说，极限是≈，不是=。不管再怎么逼近，也不会真正抵达。

上面的两句话都有错误。极限就是=，而不是≈，不管哪本教材都写着=。这不是为了方便，而约定极限是=。

有人会说，极限的定义里有逼近，就是告诉人们它不可能相等。逼近是从有限的角度考虑问题，而极限是在无限的角度上相等的。

事实上，极限定义中用到逼近这个词，只有在高中的教材，和工科的数学教材《微积分》中才出现。数学专业的《数学分析》中根本没有用到逼近这个词。

这个是《数学分析》中关于数列极限的定义，根本没有用到逼近。

在牛顿莱布尼茨时代，人们对无限这个概念还没有充分了解的情况下，说极限是≈还可以理解。在21世纪的今天，还有人说极限是≈，可见基础教育还有很长的路要走。

下面，我给出我的证明。为什么？

证明三：

不存在x满足，，所以。

先给出说明：

肯定不会大于1。但是它的每一位是9，已经是每一位最大了，再大就要进位了，所以找不出一个数比大的同时比1小。所以可证：。

当然，肯定有人要抬杠了。你找不到就没有吗？说不定是你没本事呢。

我记得，看过有个人提出的反例，找不到比4大，比5小的整数，所以4=5吗？

确实找不到一个比4大，比5小的整数，但4也确实不等于5。这是因为整数集不是稠密的。用通俗的话说，整数集虽然是无限的，但是却到处都是洞。而实数集是稠密的。

实数的稠密性最简单的描述是任意两个不等的实数之间都有无限个其它实数。

一个简单的证明：

因此，不存在x满足，，所以。

这个确实是反直观的。但其实数学中反直观的有很多。比如，在非欧几何中，平行线是有交点的。

有人会说，有交点就不是平行线，我是这么学的，书上也是这么教的。

这确实是对的，但这是欧氏几何的内容。平行线相交是非欧几何的内容。欧氏几何是平面上的几何，而非欧几何是曲面上的几何。

有时候并不需要和我们的直观一致。数学理论需要的是自洽，即在这套理论的公设基础上，所有的结论都是可以通过严格的证明推导的。

而不是说无限小数怎么可能等于有限整数。如果你觉得不可能，应该给出证明。

罗巴切夫斯基和黎曼看到了欧几里得第五公设的局限性，分别提出了罗氏几何和黎曼几何。这两个几何在人类的历史上同样闪耀着光芒。

爱因斯坦广义相对论的数学基础就是黎曼几何。

如果你能给出的证明，我也很欢迎，数学理论会因为你而进一大步，甚至坍塌。