哈密尔顿田猜想解读最简单版(重发)
yund56 2025-06-04 06:13 27 浏览
复述：哈密尔顿田猜想是说在紧致的法诺流形上的里奇流会在Gromov-Housdorff意义下收敛到一个极限，这个极限在光滑部分是一个收敛里奇孤立子（波），而极限中非光滑的部分是一个余4维的子集，并且里奇流在光滑部分的收敛是Cheeger-Gromov收敛 首先来了解Gromov-Housdorff收敛的概念：当且仅当两个度量空间等距同构时，豪斯多夫距离为0. （1）度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的 （2）豪斯多夫距离量度度量空间中真子集之间的距离 （3）在数学中，等距同构是指在度量空间之间保持距离关系的同构,而同构指的是一个保持数学结构（数学结构，即数学研究的对象）的一一对应映射 再来看Cheeger-Gromov收敛的概念： 称黎曼流形序列（mi，gi）Cheeger-Gromov收敛到单一黎曼流形（m，g）
（1）黎曼流形，带有黎曼度量的流形,流形是曲线曲面和其高维推广，黎曼度量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量，张量是有大小和多个方向的量（具有大小与一个方向的量称为向量，两个方向的称为一阶张量，三个方向的成为二阶张量） （2）微分同胚是微分流形间的同构概念,流形是曲线曲面和其高维推广,微分流形是添上微分结构的流形,微分结构是使得可在流形上做微积分的结构,同构是保持数学结构的一一对应
"紧致”概念：一个拓扑空间 M 被称为紧致的，如果对M的任何开覆盖，总存在有限的子覆盖，而一组包含拓扑空间X的开子集T叫开覆盖 拓扑是集合上的一种结构，设T为非空集合X的子集族（子集族，以子集为元素构成的序列 ），若T满足：1.X与空集都属于T 2.T中任意两元素的交集属于T 3.T中任意多个元素的并集都属于T 满足以上三个条件的子集族T称为拓扑，具有拓扑的集合X称为拓扑空间 来看法诺流形的概念：第一陈类大于零的复流形叫作法诺流形 （1）陈类是一系列拓扑空间的上同调系列，上同调是拓扑空间的一个反变函子，函子是范畴间的同态，同态，不要求映射是一一映射的同构，是一种特殊的同构，范畴，数学结构以及结构之间（列如函数如与函数之间）联系组成的整体，反变函子，与普遍定义的函子映射变换方向相反的函子（即普遍定义是从a到b，现在是从b到a） （2）复流形是一个流形，使得每个邻域在一种连续的方式下看起来象一个复n维空间（即实2n维空间），这里的复、实指复数维或实数维空间，邻域指以其中一点为中心的开区间 补：光滑部分指光滑映射部分，光滑映射指 光滑函数的映射，光滑函数指定义域内无论何阶数都连续可导的函数 来看倒数第三个概念里奇流：让流形随时间变化的流 （1）流，形式随时间的变化，列如水流
最后来看里奇孤立子与余维数的概念，里奇孤立子是里奇流的奇点（黑洞奇点就属于奇点的一种），而余维数是衡量子空间大小的一个数值量（子空间概念类比子集）
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