均值不等式在高中物理中的应用
yund56 2025-03-29 17:50 18 浏览
一、均值不等式在高中物理中常用的结构形式,一般体现在
①两数之和一定,求积的最大值;
②两数之积一定,求和的最小值.
二、对勾函数
对勾函数先是减函数,后是增函数(x>0区间).
例题:如图所示电路,电源电动势E=6.3V,内电阻r=0.5Ω,负载电阻R=2Ω,R=3Ω,滑动变阻器的最大阻值R′=5Ω,当滑动变阻器的滑片P由左端A移到右端B时,电路中电流表的读数变化范围是多大?
设外电阻为R,
例题:如图所示,AOC是光滑的直角金属导轨,AO沿竖直方向,OC沿水平方向,ab是一根金属直棒,如图立在导轨上,b端比a端更靠近O点.它从静止开始在重力作用下运动,运动过程中b端始终在OC上,a端始终在AO上,直到ab完全落在OC上.整个装置放在一匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里,则ab棒在运动过程中()
A.感应电流方向始终是b→a
B.感应电流方向先是b→a,后变为a→b
C.棒受磁场力方向与ab垂直,如图中箭头所示方向
D.棒受磁场力方向与ab垂直,开始如图中箭头所示方向,后来变为与箭头所示方向相反
x^2+y^2=L^2
S= 1/2 xy≦(x^2+y^2)/4=L^2/4
当且仅当x=y时,S取最大值
例题:如图所示,小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示.已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为子3d/4,重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.
(1)求绳断时球的速度大小v和球落地时的速度v.
(2)轻绳能承受的最大拉力是多大?
(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离为多少?
例题:在纯电阻电路中,电源的最大输出功率
①利用两数之积一定,求和的最小值;
R+r^2/R≥2r
当且仅当R=r时,有最小值.
当R<r时,输出功率函数为增函数;当R>r时,输出功率函数为减函数.
R+r^2/R为一个对勾函数.
对应P的最大值为E^2/4r.
②利用两数之和一定,求积的最大值;
U=E-Ir
求P=UI的最大值
P=I(E-rI)≤(E-rI+rI)^2/2r=E^2/2r
当且仅当I=E/2r时,P取最大值.
例题:两个等量同种点电荷连线的中垂线上电场强度在什么位置最大.
即求cos^2θsinθ的最大值.
当且仅当cos^2θ=2sin^2θ时,取最大值.
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