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均值不等式在高中物理中的应用

yund56 2025-03-29 17:50 18 浏览

一、均值不等式在高中物理中常用的结构形式，一般体现在

①两数之和一定，求积的最大值；

②两数之积一定，求和的最小值.

二、对勾函数

对勾函数先是减函数，后是增函数(x＞0区间).

例题：如图所示电路，电源电动势E＝6.3V，内电阻r＝0.5Ω，负载电阻R＝2Ω，R＝3Ω，滑动变阻器的最大阻值R′＝5Ω，当滑动变阻器的滑片P由左端A移到右端B时，电路中电流表的读数变化范围是多大？

设外电阻为R，

例题：如图所示，AOC是光滑的直角金属导轨，AO沿竖直方向，OC沿水平方向，ab是一根金属直棒，如图立在导轨上，b端比a端更靠近O点.它从静止开始在重力作用下运动，运动过程中b端始终在OC上，a端始终在AO上，直到ab完全落在OC上.整个装置放在一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，则ab棒在运动过程中()

A.感应电流方向始终是b→a

B.感应电流方向先是b→a，后变为a→b

C.棒受磁场力方向与ab垂直，如图中箭头所示方向

D.棒受磁场力方向与ab垂直，开始如图中箭头所示方向，后来变为与箭头所示方向相反

x^2+y^2=L^2

S= 1/2 xy≦(x^2+y^2)/4=L^2/4

当且仅当x=y时，S取最大值

例题：如图所示，小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为子3d/4，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.

（1）求绳断时球的速度大小v和球落地时的速度v.

（2）轻绳能承受的最大拉力是多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

例题：在纯电阻电路中，电源的最大输出功率

①利用两数之积一定，求和的最小值；

R+r^2/R≥2r

当且仅当R=r时，有最小值.

当R＜r时，输出功率函数为增函数；当R＞r时，输出功率函数为减函数.

R+r^2/R为一个对勾函数.

对应P的最大值为E^2/4r.

②利用两数之和一定，求积的最大值；

U=E-Ir

求P=UI的最大值

P=I(E-rI)≤(E-rI+rI)^2/2r=E^2/2r

当且仅当I=E/2r时，P取最大值.

例题：两个等量同种点电荷连线的中垂线上电场强度在什么位置最大.

即求cos^2θsinθ的最大值.

当且仅当cos^2θ=2sin^2θ时，取最大值.

对勾函数的最低点坐标

均值不等式在高中物理中的应用

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