微积分~《基本初等函数》中有关幂函数的讲解

想必大家都知道，有关基本初等函数模型就只有六种，它们分别是以下类型↓

包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

那么，今天我们专讲幂函数，另外五种函数后面再一一介绍，其中的常数函数我就不做过多介绍，因为这个函数比较简单。

①：我们先来了解一下，幂函数的定义，看一下定义是怎么解释的↓

定义：一般地, 函数y＝x（n∈R）叫作幂函数, 其中x是自变量,n是常数。

为了方便大家学习，我把繁琐的文字归结成了一小段好理解的定义。

从上面，我们可以看出来，n的取值是整个实数范围，这意味着，幂函数的图像以及定义域和值域都不是唯一的。

但是，n在实数范围内，大体可以分为三类，一类是正数，一类是负数，还有一类就是正数和负数的分界点0，所以我们可以先从这个点出发进行讨论↓

即：n＝0，n＞0，n＜0

②：当n＝0时，我们可以看出，y＝x＝1，所以得证。

③：当n＞0时，n大体可以分为n＝1，n＝2，n＝3，n＝1/2，n＝1/3

1、若n＝1时，即可得到y＝x^1，这个函数我们在初中的时候就已经认识，属于一次函数范畴，进入高中过后，我们统一为幂函数。

从函数图像可以看出，函数的定义域是整个实数集{x|x∈R}，值域也是实数集{x|x∈R}，函数在区间（－∞，＋∞）是单调递增的，所以称增函数，又因为该函数图像关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以又称奇函数。

2、若n＝2时，即可得到y＝x^2，这个函数我们在初中的时候属于二次函数范畴，进入高中过后，我们统一为幂函数。

根据图像可知，该函数的定义域也是整个实数集{x|x∈R}，函数图像在横轴的上方，所以可知值域是{y|y≥0}，图像由左上方一直到原点（0，0），一直是下降趋势，所以可以判定在区间（－∞，0]是单调递减的，在区间（0，＋∞）是单调递增的，如果在整个实数范围内观察，函数图像不存在单调性，因为该函数图像关于y轴对称，且满足f(－x)＝f(x)，所以又称偶函数。

注意：我们所说的单调区间，指的是在某一确定区间内，增减性是确定了的，不能既有增区间又有减区间的问题存在。

3、若n＝3时，即可得到y＝x^3，这个函数是三次函数，它的图像如下所示：

根据图像可知，函数的定义域是{x|x∈R}，值域也是{y|y∈R}，图像是向上下无限延伸的，整个函数图像从下向上都在不断上升，到达原点时有短暂停留，随后又开始上升，所以函数图像在区间（－∞，＋∞）是单调递增的。因为该函数图像关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以又称奇函数。

注意：细心的朋友可能会发现，实际上点（0，0）还可以称为该函数的拐点，所谓的拐点就是拐点处的二阶导数为零，但三阶导数不为零，并且拐点两侧的凹凸性会变化。

4、若n＝1/2时，即可得到y＝x＾ 1/2 ，这个函数可以称为1/2次函数，也可以叫二次根号函数，在这里统称为幂函数，图像如下所示：

为什么这个图像只存在第一象限呢，那是因为我们在计算时，规定了偶次根号下的数必需为正数，所以二次根号函数以描点作图法，可以得到以上形式的图像。

从图像可知，该函数的定义域是{x|x≥0}，值域是{y|y≥0}，根据图像还可以得到函数在规定定义域内是单调递增的，所以这是一个增函数。

5、若n＝1/3时，即可得到y＝x＾ 1/3 ，这个函数可以称为1/3次函数，也可以称为三次根号函数，在这里也称为幂函数，图像如下所示：

从图像可知，该函数定义域为整个实数集{x|x∈R}，值域为{y|y∈R}，函数图像从（－∞，0）缓慢上升，随后又从[0，＋∞）缓慢上升，所以称为单调递增，且叫增函数。同时该函数也关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)，所以也称为奇函数。

④：当n＜0时，n大体可以分为n＝－1，n＝－2，n＝－ 1/2 等三种类型。

1、若n＝－1时，即可得到y＝x^1＝1/x，这个函数我们在初中的时候就已经认识，属于反比例函数范畴，在这里统称为幂函数：

根据图像可知，该函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}，通过观察可得，图像在区间（－∞，0）是单调递减的，在区间（0，＋∞）也是单调递减的，又因为函数图像关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以该函数也称为奇函数。

注意：在整个定义域内，该函数不能称为减函数，只能说在某一范围内称为减函数，不能说反比例函数是减函数的原因在于其定义域的分段以及单调性的变化。

2、若n＝－2时，即可得到y＝x^2，该函数可以称为－2次函数，函数图像的变化如下哦：

由图像可知，该函数的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y＞0}，又因为该函数关于y轴对称，且满足f(－x)＝f(x)，所以该函数可称为偶函数，根据图像的变化趋势，函数的单调递增区间为（－∞，0），单调递减区间为（0，＋∞）。

3、若n＝－1/2时，即可得到y＝x＾ 1/2 ，函数图像如下所示：

根据图像可知，该函数图像存在于第一象限，定义域为（0，＋∞），值域为（0，＋∞），函数图像在区间（0，＋∞）是单调递减的，该函数在整个定义域内都是递减，所以可以称为减函数。

总结：以上所有函数，我们都统称为幂函数，要注意的是，这些函数大部分都经过点（1，1）和（0，0），但是当n＜0时，函数则只过（1，1）点。

今天的内容就讲到这里，我们下节课再见，点赞关注，我们一起学习进步。