教高中生微积分基本定理

来源 | 数学传播，45卷2期，pp.12-17，好玩的数学获授权转载，在此感谢！

先求 线的斜率

然后再令 趋近于, 将所得的极限定为切线的斜率。式(1) 一方面是图三中割线 的斜率, 另一方面式(1)也代表当 变动到 时, 的平均变率(average rate of change), 而当 时, 式(1)的极限便是 在 点的瞬间变率 (Instantaneous rate of change at )。

平均或是瞬间变率的考量可以针对任意的函数, 一旦能够掌握 在 的极限 便可以从 反求, 这正是牛顿当年发现微积分基本定理的切入点。牛顿首先将图二改成图四(注三)。

图四

图四是连续函数 的图形从 到 这一段与 轴之间的面积, 在 这一点, 函数 是高度, 面积以函数 表示。牛顿的想法是求面积函数 在 点的瞬间变率。欲求 的瞬间变率, 必须先求平均变率, 因此牛顿考虑下面的图五(并见注三)。当 变化到 时, 从 到 的面积是 而 就是图五中在 上方的面积, 因此平均变率等于。如果函数 在 上是常数的话, 则 这块面积是一个以 为高度的长方形, 如图六所示：

在图六的情形, 不论 的大小, 都等于长方形面积 的高, 令, 自然得到 对 的瞬间变率是此长方形的高, 即。

一般而言面积 这一块并非长方形而是形如图七：

图七

在图七中, 令 和 分别是函数 在 上的最大值和最小值, 则显然有(注四)

当 时, 和 都会趋近, 因此 也会趋近, 亦即 对 的瞬间变率是, 或者说。这就是当年牛顿发现的微积分基本定理(注五)。

根据此一定理, 我们有下列结论：

如图二所示, 令 满足, 则图二中的面积等于。原因是, 因为如图四, , 如果 也等于, 则, 是一个常数(注六)。图二中的面积等于, 注意到, 所以

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虽然满足微分是 的函数并不唯一, 但是因为这些“反微分”彼此只差一个常数, 在计算 时, 所差的常数自然会对消, 因此并不重要(注七)。

以下, 我们补充当 不一定恒正时图四中的面积函数 应该如何定义。如图八, 当 在某一区段小于0 时, 从 到, 阴影部份的面积若是除以, 得到的“高度”是正的, 而非 (此处), 因此一个合理的面积函数 在图八中应该计以负值, 如此, 而 也小于0, 并且当 时, 会趋近于, 也小于0。

图八

如此一来, 只要将 时的“面积”计以负值, 则微积分基本定理仍然成立, 如图九

图九

函数 有正有负, 当 时阴影部分面积以正计之, 而 时阴影部分面积以负计之, 则总面积仍然会等于, 是 的反微分(注八)。

换句话说, 只要将 的部份, 面积以负计, 则微积分基本定理仍然成立(利用 的任一个反微分, 图九的阴影部份“面积”皆等于)。读者不妨试试下面这个函数, 其在 这一段的“面积”计算。

图十

若以反微分 代1 和-1 相减，

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恰是图十中阴影部分面积取负号。

总之, 微分是求函数图形切线的斜率, 积分是求图形与 轴之间的“面积”, 这面积两字需要打一引号，来说明“面积”是要考虑正负的。唯有如此, 微积分基本定理才会广泛的成立。因此, 可能如注八, 得到“面积”为0 时, 原因不过是正的面积和负的面积对消, 一点也不奇怪。

注一：, 以便处理 函数图形与 轴之间的面积，将来，当 时, 会引进“负的面积”的概念。并见注八。

注二： 代表一个微小的量，可正可负，但是不能等于0，本文为了方便说明，均大于0。

注三：莫里斯?克莱因着古今数学思想(Morris Kline，Mathematical Thought Frome Ancient to Modern Times)中译本第69页重现了牛顿所画的图

图中的记号"0" 相当于现在的。

注四： 在闭区间 上有最大值和最小值，并且当 时, 最大和最小值均趋近 。

注五：一般认为莱布尼兹亦独立发现此定理。

注六： 的函数统称是 的反微分或反导函数， 的所有反微分彼此只差一个常数，图五中的面积函数 是 的一个特别的反微分，它满足 。

注七：多项式 的反微分是 ， 是任意常数。三角函数 的反微分是, 是任意常数。下面二个函数图形阴影部份的面积分别是 和。

注八：简言之，若面积在 轴上方以正计，在 轴下方以负计，则“面积”仍然等于 。式中 是函数 的反微分。以 为例, 下图的面积0。此时若取, 则 亦等于0。