积分是微积分中的一个核心概念，主要用于计算函数在某一区间上的累积量，如面积、体积等。积分分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）

原函数

• 定义：指一个函数的导数等于另一个给定函数。比如，若F(x)的导数为f(x)，即F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
• 几何意义：在几何上，原函数可以看作是在坐标平面上的一条曲线，这条曲线的切线斜率（即导数）在每个点上都等于给定函数f(x)的值。因此，f(x)的不定积分表示的是所有可能的原函数组成的曲线族，这些曲线族可以通过对同一个原函数进行沿y轴方向的平移得到。
• 性质：

原函数不唯一：一个函数可以有无限多个原函数，因为任意两个原函数之间只相差一个常数C。例如，对于函数，其原函数是，其中C可以是任何实数。

连续性要求：不是所有的函数都有原函数。

存在条件：连续函数一定存在原函数。对于不连续的函数，如存在有限个第一类间断点（可去或跳跃），或某些特定的第二类间断点（如振荡间断），它们也可能存在原函数。

• 应用：在实际问题中，求解原函数通常是通过积分运算来实现的。不定积分的结果就是原函数加上一个任意常数，这个结果代表了给定函数的所有可能的原函数集合。

不定积分

不定积分是求函数的原函数（或反导数）的过程。

给定一个函数 f(x)，其不定积分表示为：

其中，F(x) 是 f(x) 的原函数，C 是积分常数。

例子：

定积分

定积分用于计算函数在区间 ([a, b]) 上的累积量，表示为：

几何上，定积分表示曲线 y = f(x) 与 x轴在 x = a 到 x = b 之间所围的面积。

例子：

基本积分公式

以下是一些常见的不定积分公式：

• 幂函数积分：
• 指数函数积分：
• 对数函数积分：
• 三角函数积分：

积分的性质

• 线性性质：
• 区间可加性：

积分的应用

积分在多个领域有广泛应用，包括：

• 几何：计算面积、体积。
• 物理：计算功、能量、质心等。
• 经济：计算总收益、总成本等。