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简单函数的加减乘除组合，如何求导数呢?先求简单导数再加减乘除

yund56 2025-07-14 22:20 8 浏览

本篇是前面的一篇文章

为了打通微积分的“任督二脉”，让我们来愉快地求导数吧

的延续阅读。

之前，我们了解了简单函数的求导，诸如（C）'=0、（a^x）'=a^x*lna、（x^μ）'=μx^(μ-1)。

那遇到简单函数的加减乘除组合，例如：1、f(x)=2x^3±e^x；2、f(x)=2x^3*e^x；3、f(x)=2x^3/e^x，该如何求导数呢？

第1个函数，可以用通项式表达为：f(x)=A(x)±B(x)，那么有：

于是得第1个函数的导数：f'(x)=(2x^3±e^x)'=(2x^3)'±(e^x)=6x^2±e^x。

第2个函数，可以用通项式表达为：f(x)=A(x)*B(x)，那么有：

于是得第2个函数的导数：f'(x)=(2x^3*e^x)'=(2x^3)'*e^x+2x^3(e^x)'=6x^2*e^x+2x^3*e^x。

第3个函数，可以用通项式表达为：f(x)=A(x)/B(x)，那么有：

于是得第3个函数的导数：f'(x)=(2x^3/e^x)'=[(2x^3)'*e^x-2x^3*(e^x)']/(e^x)^2=(6x^2*e^x-2x^3*e^x)/(e^x)^2=(6x^2-2x^3)/e^x。

上面是两个简单函数的加减乘除组合的求导，那么三个、四个乃至N个简单函数的组合怎么求导呢？原理也是一样的，先把它们视作两个函数作第一步求导，再进一步推导剩余函数组合的导数。

比如，分别对f(x)=A(x)±B(x)±C(x)、g(x)=A(x)*B(x)*C(x)、h(x)=A(x)/B(x)/C(x)求导。得：

f'(x)=A'(x)±B'(x)±C(x)'；

g'(x)=[A(x)*B(x)*C(x)]'=[A(x)*B(x)]'*C(x)+A(x)*B(x)*C'(x)=A'(x)*B(x)*C(x)+A(x)*B'(x)*C(x)+A(x)*B(x)*C'(x)；

h'(x)=[A(x)/B(x)/C(x)]'={[A(x)/B(x)]'*C(x)-A(x)/B(x)*C'(x)}/C^2(x)={[A'(x)/B(x)-A(x)/B'(x)]*C(x)/B^2(x)-A(x)/B(x)*C'(x)}/C^2(x)=[A'(x)*B(x)*C(x)-A(x)*B'(x)*C(x)-A(x)*B(x)*C'(x)]/B^2(x)*C^2(x)。

四到N个简单函数的组合求导，以此类推。

最后，我们来求一个组合函数f(x)=(e^x*sin x)/x+e^x*cos x*x^a的导数：

f'(x)=[(e^x*sin x)/x+e^x*cos x*x^2]'

=[(e^x*sin x)'*x-e^x*sin x*(x)']/x^2+(e^x*cos x)'*x^2+e^x*cos x*(x^2)'

=[(e^x)'*sin x*x+e^x*(sin x)'*x-e^x*sin x]/x^2+(e^x)'*cos x*x^2+e^x*(cos x)'*x^2+e^x*cos x*2x^

=(e^x*sin x*x+e^x*cos x*x-e^x*sin x)/x^2+e^x*cos x*x^2-e^x*sin x*x^2+e^x*cos x*2x

=1/x^2*(e^x*sin x*x-e^x*sin x-e^x*sin x*x^4+e^x*cos x*x+e^x*cos x*x^4+e^x*cos x*2x^3)

=e^x*sin x/x^2*(x-1-x^4)+e^x*cos x/x^2*(x+x^4+2x^3)

这里面也没有什么技巧性的东西，只需要按部就班地推算就可以。

第一次关注我的小伙伴们，可以从第一篇看过来，下面是图文链接。

复合函数求导公式大全高等数学

上一篇：导数的运算法则及基本公式应用（导数运算方法）
下一篇：全导数和偏导数的转换（全导与偏导的关系）

简单函数的加减乘除组合，如何求导数呢?先求简单导数再加减乘除

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