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复合函数求导方法综述（复合函数求导的基本公式）

yund56 2025-07-14 22:19 8 浏览

01 引言

在复合函数已有的三种求导方法此基础上，再通过将复合函数看成特殊的隐函数。从而形成复合函数求导的五种方法。

02 复合函数求导的五种解法

课本上讲了第一种方法是通过将复合函数分解为简单函数。复合函数分解为简单函数，需将复杂自变量设为简单的中间变量。借助函数的导数的定义式可以推导得到复合函数的求导方法为，y对x的导数为y对中间变量的导数乘上中间变量对x的导数。

第二种方法是由第一种方法的数学表达式，通过分析其本质定性物理含义得到的。可以将其本质含义概括为，复合函数的导数为对其直接求导，再乘以复杂自变量的导数。

第三种方法是在导数列表公式中的类似导数公式后边乘以x的导数。从而将形成的等式中的自变量x都换为题目中的复杂的变量。即可得到这种课本上没有的方法，这种方法是凭熟能生巧所创新的。

第四种方法为将复合函数看成特殊的隐函数，从而通过对式子两边同时对x求导。将含有x项直接求导，含有y的项直接求导后，再乘以y的一阶导数。最后将y的一阶导数，当作未知数求出来。

第五种方法为隐函数求导的第二种方法。通过将函数表达式右边化为0，将左边对应的代数式设为构造的二元函数。这样y对x的导数为负的二元函数对x的偏导数比上对y的偏导数。

03 结论

复合函数求导的五种方法中，第三种方法为熟能生巧所得。后两种方法为将显函数看成特殊的隐函数所得。后三种方法的获取是高度熟练的结果，充分显示出熟能生巧在数学学习中的巨大作用。

04 启示

复合函数求导的五种方法相互联系、密不可分。五种方法虽然形式不同，但本质都一样。前三种方法都可概括为复合函数的导数，为对其直接求导，再乘以复杂自变量的导数。最后两种方法都是将复合函数看出特殊的隐函数所得的。而隐函数求导的方法也是由简单的隐函数—显函数的求导方法推广而来的。

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