高中数学三角函数的概念与同角三角函数的基本关系试题

(一) 三角函数的定义

1、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则：

y叫做α的正弦函数，记作sinα.即y=sinα；

x叫做α的余弦函数，记作cosα.即x=cosα；

(y)/(x)叫做α的正切函数，记作tanα.即(y)/(x)=tanα(x≠0)。

2、三角函数定义域

正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：

正弦函数：y=sinx,x∈R

余弦函数：y=cosx,x∈R

正切函数：y=tanx,x≠(π)/(2)+kπ(k∈Z)

3、三角函数另一种定义

设点P(x,y)(不与原点重合)为角α终边上任意一点，点P与原点的距离为：r=sqrt(x^(2)+y^(2))，则：sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x).

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关

(二) 三角函数的符号

【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

其含义是在第一象限各三角函数值全为正，

在第二象限只有正弦值为正，在第三象限

只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．

(三) 诱导公式一

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：

sin(α+2kπ)=sinα

cos(α+2kπ)=cosα

tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z

注意：

(1)利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π(或0°~360°)范围内角的三角函数值．

(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)，或f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)．

(四) 特殊角的三角函数值

(五) 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

1、已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；

3、已知角α的终边所在的直线方程(y=kx，k≠0)，求角α的三角函数值

方法：先设出终边上的一点P(a,ka)(a≠0)，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解(注意α的符号，对α分类讨论)

(六) 同角三角函数的基本关系

1、平方关系：sin^(2)α+cos^(2)α=1，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1

2、商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切

注意以下三点：

(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin^23α+cos^23α=1成立，但是sin^2α+cos^2β=1就不一定成立．

(2)sin^2α是(sinα)^2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin^2α写成sinα^2，前者是α的正弦的平方，后者是α^2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．

(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin^2α+cos^2α=1对一切α∈R恒成立，而tanα=(sinα)/(cosα)仅对α≠(π)/(2)+kπ(k∈Z)成立．

(七) 三角函数求值问题处理方法

1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．

2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．

(八) 三角函数式的化简技巧

①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin^(2)α+cos^(2)α=1，以降低函数次数，达到化简的目的．

(九) 三角函数恒等式证明

证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：

①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．

②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．

③比较法：即证左边-右边=0或(左边)/(右边)=1(右边≠0)．

④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

附：高一、高二上学期期末备考专题

1.高一数学试卷（持续更新中）

2.高二数学试卷（持续更新中）

3.高三数学试卷（持续更新中）

4.高一高二数学同步重难点

5.高三一轮二轮数学同步重难点

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