构造函数比大小，不止是简单的套路题

这是我给学生专门收集的专题训练学案，分享给有需要的读者。

指对数若作为纯函数题来考，在“寸题寸金”的试卷上不太可能出现基础的函数运算，若结合函数性质，指对数常见的奇偶单调对称更多属于套路题，很难出得有区分度，若将指对数和其它函数杂糅考函数图像，其本质依旧是性质的延伸，无非外加特殊点和极限值，因此若指对数非得出在纯函数里面，那就只剩下两个选择，即最原始的指对数比大小题目和互为反函数的指对数间的相互转化。

这里的最原始的指对数比大小指的是无需构造函数，通过转化底数指数真数以及使用扩大缩小值或借助不等式或本身的公式等方法，技巧性灵活性很高，这类问题在早几年还会考到，但最近几年此类问题逐渐淡出视野，这种指对数比大小题目属于第一层维度。

若作为纯函数题，我更觉得指对数利用互为反函数互相转化后再借助一丢丢的构造法这种题目更加值得一出，这种题目既考查了运算法则同构转化能力又考查学生的观察能力，可惜高考题却对此不甚感冒，但地方模拟题有的时候出得很好，举一例子：

从题目来看，若此类问题出得精彩必定要涉及函数构造法和导数，若指对数不从纯函数的角度出发，结合指对数本身的知识点，则必定需要借助导数来解决相关的函数问题，在选填中排除老套的题型之外(例如指对数混合的零点求参问题)，最佳的题型就是构造函数比大小了。

这类问题难在哪里，大致有三点，第一是指对数明明长得不一样，但两者互为反函数，却可以互相转化，而很多学生很难熟练地转化指对数这两种不同的函数物种，这种转化称之为同构，也是导数大题中简化指对数混合函数的常用解法；第二是不明白构造函数的方向，针对这种方向指对数比大小的题目又有两层维度，第二层维度是题目会明确提供具有明显对称形式的条件，此时所需构造的函数很容易确定，第三层维度是题目不具备对称形式，需要观察两个式子的关联，选取合适的变量和函导数模型，这也是这两年最常见的考试形式；第三是即便清楚如何构造函数，但小题中出现导数的大题步骤，解题时间不足，因此针对这种情况，出题人可能不再要求常规的导数判断单调性以及求最值，而是借助常见放缩或极限法省去常规导数解法。

这种属于入门题目，不属于任何维度，三个数值具有明确的正负大小关系，算是开胃甜点。

第二题依旧是入门题目，只是加入了相对准确一些的数值估算，这也是比大小题目的必备技能。

第3题步入第一层维度，只考虑b,c，在底数真数均不同且不能转化且估值均接近的情况下，常需借助换底公式或同比例扩大或缩小数值的方法，本题采用换底公式后用均值不等式或对数函数的逆向运算均可。

从第4题开始步入第二层维度，即具有明确对称性的函数构造法，三个等式形式相同，变量与变量结合，常数与常数结合，所需构造的函数类型很容易确定，这种题目在高考中其难度甚至不如第一层维度。

第5题依旧属于第二层维度，值得一提的是，奇怪的指数通常要转化为同底的对数来处理。

从第6题开始题目的形式基本上就失去了对称性，a,b具有某些相似的形态，若只看a,b，在同为对数的形式下构造函数时的变量常为真数部分，若以b为参考点，将真数3所在的部分当作变量，则b=3-4ln3+1,若以a为参考点，将真数2所在的部分当作变量，则a=2-8ln2+3，发现两者形式并不统一，若将a变为a=5-4ln4=4-4ln4+1，则a,b具有相同的形式，可统一构造函数为f(x)=x-4lnx+1。

既然a,b可统一构造，则c必定也符合构造形式，结合构造的函数形式以及c指数的形式，将三者统一构造为函数f(x)=e^lnx-4lnx+1即可，为了避免复合函数求导，下述是把指数的整体看作变量，即f(x)=e^x-4x+1

本题构造函数是一难点，但真正的难点是在判断5/4和ln3，ln4的大小比较上，对数和常数比较时，若常数不能转化为同底的对数，真数和常数形态关联性不大且估值相近时，通常需要借助对数函数的放缩形式，本题即如此，但ln2,ln3,ln4的估计值是要求记住的，因此也可直接比较大小。

第7题相较于上题构造形式更容易确定，从a和b的形式变形即可确定函数形式，c虽然形式上与a,b不同，但得知构造形态后往函数上靠拢还是很容易的，解题的突破口就是两个具有相似形态的数值上。

第8题和第7题类似，可以先从a,c上试着构造函数，b往构造的形式上靠即可。

当比大小出现三角函数值时，有两种处理形式，可以使用三角函数的放缩形式，例如当0<x<1时，sinx<x<tanx，或者将三角函数作为构造函数的一部分，但这样构造的函数用导数处理起来并不容易。

本题只需比较a,b即可，虽然一个为常数一个为对数，但常数和对数的真数有联系，构造函数时ln(x+1)为常用的函数形态，21/11=1+10/11=1+2×5/11，构造函数即可确定出。

第10题是特征性很强的题目，能看出肯定以0.001所在的部分为函数的变量，0.001和0.999关系容易确定，1/999和0.001有关联也无关联，0.001=1/1000=1/(999+1)，可将1/999整体作为变量作替换，若依旧选择0.001为变量，可将a,b同时取对数相减，真数部分就会出现与0.001直接有关联的形式了。

第11题比较a,c时选择变量构造函数较为容易，若比较b,c，4/5和1/5有关联，因此比大小时相除比相减更容易确定所需构造函数形式，但要保证在两数值符号相同的前提下进行。

第12题区别于上述题中构造函数后需要求导确定单调性后利用端点值进行符号判断，有时候构造函数后根据常用的指对数放缩形式即可确定函数整体的符号，这是第三层维度最有可能的变化趋势，a,c比大小时用到的放缩形式很容易确定，但b,c比大小用到的放缩形式就需要好好思考一下了，关键在于ln2x前有系数e，因此需要选用lnx≤x/e这种放缩形式的变形。

第13题和第10题有些类似，比较b,c时1/10和1/11如果非得用1/11=1/(10+1)来确定，此时就得判断所构造函数在x=10处的函数值，这种方法并不理想，所幸本题直接判断函数极限值也能确定出函数的整体符号，若依旧选择1/10作为变量，直接将1/11替换即可，这样更容易一些。

第14题判断b,c时用到了放缩法，比较a,b时用到了换元思想，在了解上述题目方法之后第14题不是难题。

最后说一句，构造的函数对不对其实可以一眼看出，即需要判断的函数值必须与一个最接近且函数值较为特殊的点进行比较，例如判断f(0.1)的符号，若知道函数f(x)在[0,1)单调且f(0)=0即可知道f(0.1)的正负，或者函数f(x)在[0,1)单增且f(0)>0、f(x)在[0,1)单减且f(0)<0均可以确定f(0.1)的正负。

建议回顾2022年高考真题中的三道构造函数比大小的题目，链接为：

2022年全国甲卷高考数学中的函数构造思想

成绩出来后再看2022年新高考1卷数学，真有那么难吗？