2025年新高考数学终结篇“函数经典讲解”—老罗最后送给你的礼物

首先，我在创作之前说明以下三个问题，因为高考就在明天，不能有任何的理由说你不知道，更不要想着在高考场上想有所依靠，你能依靠和依赖的只有你自己。具体请看下面：

1. 高考数学中的函数直接或间接的要占到大约30%，重要性不言而喻，所以在6月7号下午之前回顾好;
2. 新高考数学有好多家长或同学有疑问：“老师能考多少？”老罗在此实话实说，能考上140分的老师少之又少，更不要说满分，真实数据我想是绝大部分优秀老师能上130分，这可能都是极限了，这就是“新”的目的。所以在未来的学习的，老师所起的“引路人”更真实的能体现出来，同学把主次逻辑分清楚;
3. 题海战术是否还有用?有用，但不是主要的原因，主要的原因还是自身对题目的“变”的处理，不然想考高分“难”，现在的“难”？是你题目都读不懂的“难”。所以同学自己去品！

以下是函数正文讲解，我将从函数的①概念与性质;②函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类;③指对幂函数及函数与方程;④三角函数的图象与性质综合四个方面展开讲解。

专题一：函数概念与性质

函数的概念与性质是数学（尤其是高中数学和大学微积分）的核心基础，也是各类考试的重点和常考点。其经典考法非常多样，新高考主要围绕以下几个方面展开：

一、函数概念的理解与判断

1. 函数定义的考查

判断对应关系是否为函数：给出一些对应关系（表格、图象、集合表示、解析式），判断是否能构成函数（是否满足定义域内任意x有唯一确定的y与之对应）。常考“一对多”不是函数的情况。

求函数的定义域：

具体函数：根据解析式限制（分母≠0，偶次根号内≥0，对数真数>0，底数>0且≠1，正切函数定义域等）列不等式组求解。

抽象函数：已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域（或反之）。关键在于理解定义域是自变量x的取值范围。

实际问题背景：结合实际问题（如几何、物理、经济）中的限制条件确定定义域。

求函数的值域：这是重要考点，方法多样，如：

①观察法（简单函数）

②配方法（二次函数）

③换元法（特别是三角换元）

④判别式法（适用于可转化为二次方程类型的函数）

⑤单调性法（利用函数在定义域区间内的单调性）

⑥基本不等式法

⑦数形结合法（利用函数图象）

⑧导数法（求最值）等

2. 函数相等

判断两个函数是否相等。必要条件：定义域相同且对应法则相同（解析式化简后相同）。

3. 函数表示法

图象与解析式互推：*根据函数图象写出其解析式（或大致形式），或根据解析式选择/绘制图象。

分段函数： 理解分段函数是一个函数而非多个函数。常考求值、求定义域值域、画图象、讨论性质。

二、函数的基本性质

1. 单调性

判断单调性：给定函数（特别是抽象函数或稍复杂的解析式），判断其在给定区间（或整个定义域）的单调性。

①定义法（作差/商变形判断符号）

②图象法

③导数法（最常用和强大的工具）

④求单调区间：求函数的单调递增和递减区间。导数法是核心方法。

利用单调性解题：

①比较大小（利用单调性比较f(a)与f(b)的大小）

②解不等式（如f(x^2 - x) < f(6)，需结合定义域和单调性去“f”）

③求参数范围（如“函数在区间D上单调递增”作为条件求参数范围）

④证明不等式

⑤求值域（如前所述）

2. 奇偶性

判断奇偶性：给定函数，判断其是奇函数、偶函数还是非奇非偶。

①定义法（验证f(-x) = -f(x) 或 f(-x) = f(x) 是否在定义域内恒成立）

②图象法（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）

利用奇偶性解题：

①求值（如已知f(x)是奇函数，且f(3)=5，求f(-3)）

②求解析式（如已知奇/偶函数在x>0时的解析式，求其在x<0时的解析式）

③画图象（利用对称性简化作图）

④简化计算（利用奇偶性性质，如奇函数在对称区间积分为0）

⑤求参数（如“函数f(x) = ... 为偶函数”作为条件求参数）

3. 周期性

判断周期性/求周期： 证明或判断函数具有周期性，并求出其最小正周期（如果存在）。常考三角函数。

利用周期性解题：

①求值（如f(2025) = f(1)）

②求函数值（结合奇偶性、对称性）

③画图象（只需画出一个周期内的图象，然后平移）

④解方程/不等式（将问题转化到一个周期内解决）

4. 对称性（广义，常与奇偶性、周期性结合）

①图象关于点(a, b)对称（f(a + x) + f(a - x) = 2b）

②图象关于直线x = a对称（f(a + x) = f(a - x) 或 f(x) = f(2a - x)）

③给出对称性条件，求函数性质、解析式或参数。

三、特殊函数与函数变换

1. 分段函数

①求值（需判断自变量所在区间）

②求定义域、值域

③画图象（各段分别画，注意衔接点）

④讨论性质（单调性、奇偶性、连续性等，需分段讨论并在分界点验证）

⑤解分段函数方程/不等式

2. 复合函数

求复合函数f(g(x))： 注意定义域（g(x)的值域需在f的定义域内）。

求复合函数的定义域：先求内层函数g(x)满足外层函数f定义域要求的x的取值范围。

求复合函数的性质：如单调性（同增异减）、奇偶性（需满足特定条件）。

3. 函数方程

给出函数满足的方程（如f(x+y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y), f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)等），求函数解析式或性质。常用方法：赋值法、递推法、待定系数法、利用已知函数模型（线性函数、指数函数、幂函数、三角函数等）。

4. 反函数

①求反函数（要求原函数在区间内严格单调）。

②求反函数的定义域、值域（分别对应原函数的值域、定义域）。

③原函数与反函数图象的关系（关于y=x对称）。

④利用原函数性质研究反函数性质（如单调性）。

四、以下是老罗对函数概念与性质考点的展开（请看下面的图片）

总结经典考法核心

1. “三要素”基础题：定义域、对应法则（解析式）、值域的求解与判断。

2. “四性”核心题：单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断、应用与综合。

3. “分段”与“复合”常考题：分段函数的处理，复合函数的定义域与性质。

4. “图象”工具题：识图、作图、用图解题。

5. “综合”压轴题： 多种性质结合、与方程不等式结合、与导数结合、实际应用。

备考建议

吃透定义：深刻理解函数定义（映射定义）和各个性质的定义。

掌握方法：熟练掌握求定义域、值域、判断单调性奇偶性周期性等的基本方法（定义法、图象法、导数法）。

勤画图象： 养成画函数草图的习惯，图象是理解和解题的利器。

总结规律：如奇偶性、周期性、对称性之间的联系，复合函数单调性的“同增异减”规律等。

多做综合：练习综合考查多个知识点和性质的题目，提高分析问题和灵活运用知识的能力。

重视基础应用：函数建模解决实际问题是重要的考查方向。

专题二：函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类

高考出的函数题目，函数考法一定不单一，是有综合性的，但总离不开函数奇偶性、单调性、周期性、对称性这些性质，下面具体请看下面：

专题三：指对幂函数及函数与方程

在高考数学中，“指数函数、对数函数、幂函数”以及“函数与方程”是函数部分的核心内容，考查频率高、题型多样、综合性强，常出现在选择题、填空题和解答题中，且常作为压轴题的载体。

一、指数函数、对数函数与幂函数

1. 基本概念与性质

定义域与值域：求具体函数的定义域、值域。特别注意对数函数 logx中 x > 0且 a > 0, a ≠ 1，指数函数 a中 a > 0, a ≠ 1。

图像与性质： 识别、绘制或应用图像（形状、过定点、单调性、渐近线）。

指数函数 a (a > 1) 单增，(0 < a < 1)单减，过(0, 1)。

对数函数 logx (a > 1)单增，(0 < a < 1) 单减，过 (1, 0)。

幂函数的图像和性质高度依赖指数 α（如α > 0过(0,0), (1,1)；α < 0过(1,1)）。

单调性： 判断或应用函数的单调性。利用单调性解题是关键（如比较大小、解不等式）。

奇偶性： 判断或应用函数的奇偶性（幂函数相对常见）。

2. 指数与对数运算

熟练运用指数幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）、对数的运算性质（积商幂的对数、换底公式）。

进行复杂的指数式、对数式的化简、求值。这是基础，务必扎实。

3. 比较大小

高频考点！常结合函数的单调性、图像、中间值法（特别是0和1）、构造函数法、作差/商法。

典型形式：比较a与b、logb与a 与c等的大小关系。常涉及不同底数、不同指数的数。

4. 解指数、对数方程与不等式

方程：解形如a = b、log f(x) = b、f(a) = 0、f(logx) = 0等方程。常需换元（如令t = a或t = logx）转化为代数方程求解，注意定义域限制和验根。

不等式：解形如a > a、log f(x) > log g(x)等不等式。核心是利用单调性转化为代数不等式，同时必须考虑定义域。当底数a不确定时，需分类讨论(a > 1)和(0 < a < 1)。

5. 实际应用问题

指数增长/衰减模型： 如人口增长、细胞分裂、放射性衰变、复利计算等。关键公式 N = N (1 + r)或N = Ne。

对数模型： 如声音强度（分贝）、地震强度（里氏震级）、溶液pH值等。关键公式涉及L = klog(I)形式。

幂函数模型：如物理学中的某些规律（面积与边长、体积与边长）、经济学中的经验公式等。

考查点：建立函数模型、求解析式、求特定值、求增长率/衰减率、预测未来值等。

二、函数与方程

1. 函数的零点与方程的根

核心联系：函数 y = f(x)的零点x<=> 方程f(x) = 0的实根x<=> 函数图像与x轴交点的横坐标x。

求零点/根：

能直接求解的方程（如一次、二次、简单指数对数方程）。

数形结合法：画出函数图像，观察与x轴的交点。尤其适合选择题。

二分法：理解原理（基于零点存在性定理的近似方法），可能会在填空题或解答题中考查步骤或应用。

转化法：将f(x) = 0转化为g(x) = h(x)，转化为求两个函数y = g(x)和y = h(x)图像交点的横坐标。非常常用！

2. 零点存在性定理

核心定理：若函数y = f(x)在闭区间[a, b]上的图像是连续不断的曲线，且f(a) f(b) < 0，则函数在开区间 (a, b)内至少有一个零点。

应用：

判断零点存在区间：证明或判断函数在某个区间内存在零点。常作为解答题的第一步。

求参数范围：结合定理，利用区间端点函数值异号 (f(a)f(b) < 0) 或结合其他条件（如单调性、极值、二次方程根的分布）求使方程有解（或特定个数解）的参数取值范围。**这是综合题、压轴题的常见考法！

3. 函数零点的个数问题

基本方法：

图像法：画出函数图像（或草图），看与x轴的交点个数。需要分析函数性质（单调性、极值、渐近线、奇偶性、周期性）。

导数法（核心工具）：利用导数研究函数的单调区间和极值点。通过分析函数在定义域内或指定区间内的变化趋势（极大值、极小值、函数值正负变化），结合零点存在性定理判断零点个数。这是解答题的主流方法。

分离参数法：对于含参数的方程 f(x) = g(a)，转化为求直线y = k与曲线y = f(x)的交点个数问题。通过研究函数y = f(x)的图像和性质来确定k取不同值时交点的个数，从而确定参数a的范围。

常见情形：讨论二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其组合形成的复合函数、含绝对值的函数等的零点个数。常涉及参数讨论。

4. 二次函数的零点分布

虽然属于“函数与方程”的特例，但极其重要且常与其他函数结合。

掌握二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的根在区间 (k, +∞)、(-∞, k)、(m, n)等条件下的充要条件（判别式 Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负号）。

三、综合考查趋势

1. 函数性质的综合：将指、对、幂函数与其他函数（如一次、二次、反比例、三角函数、绝对值函数）结合，考查定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等的综合应用。

2. 导数工具的应用：在函数与方程问题（尤其是零点个数、证明存在性、求参数范围）中，导数是最核心的工具。通过求导分析原函数的单调性、极值、最值、凹凸性，是解决复杂函数问题的关键。

3. 数形结合思想：贯穿始终。无论是研究基本函数性质、比较大小、解不等式，还是求零点、判断零点个数、解方程，画出（或想象）函数图像都是非常重要的解题策略。

4. 分类讨论思想：在涉及参数、不确定底数、不确定单调性区间、含绝对值等问题中，必须进行严谨的分类讨论。

5. 转化与化归思想：将复杂问题（如复合函数的零点、超越方程）通过换元、分解、构造等方式转化为熟悉的基本问题（如二次方程、基本初等函数）。

6. 实际应用能力：对阅读能力、信息提取能力、数学建模能力（选择恰当的函数模型）要求越来越高。

以下是老罗的预测：

备考建议

1. 夯实基础：深刻理解概念，熟练掌握指数、对数、幂函数的图像与性质，记牢运算公式。

2. 强化运算：指数、对数运算要准确、熟练、灵活。

3. 掌握核心方法

①比较大小的方法（单调性、图像、中间值、构造函数）。

②解指数、对数方程和不等式的方法（化同底、换元、注意定义域和单调性）。

③判断/证明零点存在性的方法（零点存在性定理）。

④判断零点个数的方法（图像法、导数法、分离参数法）。

⑤求参数范围的方法（利用零点存在性定理结合端点值、利用导数分析函数形态结合零点个数、分离参数）。

4. 勤练综合题：多做包含指、对、幂函数且与函数性质、导数、方程零点相结合的综合性题目，尤其是历年高考真题和模拟题中的解答题。注重分析解题思路，总结方法。

5. 重视数形结合：养成画图辅助思考的习惯。

6. 规范答题：解答题中涉及单调性讨论、零点存在性证明、求参数范围时，步骤要清晰、逻辑要严密、讨论要全面。

总结来说，高考对“指对幂函数及函数与方程”的考查，重在基础概念性质、运算能力、数形结合思想、函数思想（利用性质解题）、方程思想（等价转化）、以及运用导数工具解决复杂问题的综合能力。考生需系统复习，精练典型例题，掌握核心方法，提升分析问题和解决问题的能力。
专题四：三角函数的概念与三角恒等变换

三角函数的概念与三角恒等变换是高考数学的核心考点与难点，贯穿选择题、填空题和解答题，尤其常在解答题中作为基础工具或核心考查点出现。

一、三角函数基本概念考法

1. 角的概念与弧度制

象限角判断： 给定角度（弧度或角度制），判断其终边所在象限。

终边相同的角：写出与给定角终边相同的角的集合。

弧度制与角度制互化：熟记 180° = π rad，能快速转换。

弧长与扇形面积公式：l = |α|·r，S = 1/2·l·r = 1/2·|α|·r^2（α为弧度制）。

2. 三角函数定义

定义应用：已知角终边上一点 P(x, y)，求 sinα, cosα, tanα。

符号判断：根据角所在象限，判断各三角函数值的正负（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦）。

单位圆应用：利用单位圆理解三角函数线（正弦线、余弦线、正切线），比较大小或解简单不等式。

3. 同角三角函数关系

平方关系：sin^2α + cos^2α = 1（最核心）。

商数关系：tanα = sinα / cosα(cosα ≠ 0)。

倒数关系：tanα · cotα = 1。

考法：

知一求二（知值求值）：已知sinα（或cosα、tanα）的值及角的象限，求其他三角函数值。必须考虑象限对符号的影响！

化简求值：利用关系式化简复杂的三角函数式。

证明恒等式： 证明简单的三角恒等式（常作为复杂证明的第一步）。

4. 诱导公式

核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

考法：

化简求值：将任意角的三角函数化为锐角三角函数计算。

与和差公式、倍角公式结合：化简复杂表达式。

求特定角的值：如sin(-π/3), cos(11π/6)等。

二、三角恒等变换核心考法

三角恒等变换是高考解答题的热点载体，要求熟练掌握公式体系及其灵活运用。

1. 两角和与差的三角函数公式

①sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

②cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ

③tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 tanα tanβ)

考法：

给角求值： 求非特殊角的三角函数值（如 sin15°, cos75°）。

化简求值：化简含和差的表达式。

证明恒等式：证明更复杂的三角恒等式的基础。

求角：已知三角函数值求角（需注意角的范围）。

综合应用：与解三角形、向量等结合。

2. 二倍角公式

①sin2α = 2 sinα cosα

②cos2α = cos^2α - sin^2α = 2cos^2α - 1 = 1 - 2sin^2α(降幂公式cos^2α = (1+cos2α)/2, sin^2α = (1-cos2α)/2)

③tan2α = (2 tanα) / (1 - tan^2α)

考法：

给角求值：求二倍角的值。

化简求值/证明恒等式：核心工具，尤其是降幂公式用于降低次数。

求值域/最值：将复杂函数化为 Asin(ωx+φ)+B或 Acos(ωx+φ)+B形式求最值（常需结合辅助角公式）。

综合应用：与解三角形（如求角、边关系）、函数性质结合。

3. 辅助角公式

a sinα + b cosα = √(a^2 + b^2) sin(α + φ)，其中tanφ = b/a（φ所在象限由a, b符号决定）。

考法：

化简求值：将a sinα + b cosα形式化为单一三角函数。

求值域/最值：形如f(x) = a sinx + b cosx + c的函数，可直接利用 -√(a^2+b^2) ≤ a sinx + b cosx ≤ √(a^2+b^2)求最值。

求周期、单调区间等性质：化为标准正弦/余弦型函数后研究。

解三角方程/不等式：化标准形式后求解。

4. 三角恒等变换的综合应用

化简与求值：

复杂的三角代数式化简。

条件求值：如已知tanα=2，求(sinα + cosα)/(sinα - cosα)或sin2α + cos2α。

证明恒等式：

①从左证到右（或从右到左）。

②两边同时化简到同一式子。

③利用比较法（作差等于0）。

关键：观察角、函数名、次数的差异，选择合适公式（切割化弦、降幂、变角等）。

在解三角形中的应用：

①利用恒等变换化简三角关系式。

②证明三角形中的恒等式（如A+B+C=π隐含的恒等关系）。

③求角、边关系、判断三角形形状。

在三角函数图象与性质中的应用：

关键一步：通过恒等变换将函数化为y = Asin(ωx + φ) + B或y = Acos(ωx + φ) + B的标准形式。

然后研究其定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性（轴、中心）。

三、高考常见题型与综合考点

1. 选择题/填空题

①三角函数定义、象限符号判断。

②同角关系求值（知一求二）。

③诱导公式化简求值。

④特殊角的三角函数值。

⑤利用和差角、倍角公式求值（如 `sin15°`）。

⑥利用辅助角公式求最值或周期。

⑦简单的恒等变换化简。

⑧比较三角函数值大小（利用单调性、诱导公式、特殊值）。

2. 解答题

三角恒等变换综合题：

①复杂的化简求值。

②证明三角恒等式（有一定难度）。

③条件恒等式证明（如给定 A+B+C=π）。

三角函数图象与性质题（核心载体）：

必考步骤：先利用恒等变换（尤其是降幂、辅助角公式）将函数化为标准形式 y = Asin(ωx + φ) + B。

再研究该函数的性质：求周期、最值、单调区间、对称轴/中心。

可能涉及给定区间上的性质、参数ω对性质的影响。

解三角形综合题（核心应用）：

利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变换（如sin2A=2sinAcosA, cos2A=2cos^2A-1等）进行边角互化、化简求值。

①求角、边、面积、周长等。

②判断三角形形状（等腰、直角、等边）。

③求取值范围（如角、边、面积的最值或范围）。

与平面向量、数列、导数等综合：

①向量点积运算涉及 `cosθ`。

②数列递推关系中含三角函数。

③利用导数研究复杂三角函数的性质（单调性、极值、最值）。

以下是老罗的预测：

四、备考策略与重点

1. 熟记公式体系：这是基础！务必准确、熟练记忆同角关系、诱导公式、两角和差、二倍角、降幂、辅助角等所有核心公式。理解公式的推导和联系（如倍角公式是和角公式的特例）。

2. 掌握变换技巧

角度的变换：拆角 (α=(α+β)-β)、拼角 (α+β)、变倍角 (2α)。

函数名的变换：“切割化弦”（tanα = sinα/cosα）、“弦化切”。

次数的变换：升幂（如1 + cos2α = 2cos^2α）、降幂（核心！）。

Asinα + Bcosα化单一三角函数：必须掌握辅助角公式。

3. 重视化简与证明

化简是求值、研究性质的基础，遵循“角→名→形（次数）”的顺序。

证明恒等式要善于观察目标、寻找差异、灵活选择方法（从左到右、从右到左、左右归一、作差比较）。

4. 强化标准形式转化：研究y = Asin(ωx + φ) + B的性质是高考大题的核心步骤，必须通过恒等变换达到这个目的。

5. 注重计算准确性：三角运算步骤多，符号、系数易错，务必细心。

6. 加强综合训练

①练习将恒等变换融入解三角形问题。

②练习利用导数处理含三角函数的复杂函数问题。

③精做历年高考真题和高质量模拟题，体会综合应用和命题思路。

7. 数形结合：结合单位圆、三角函数图象理解概念和公式。

高考对“三角函数概念与恒等变换”的考查，基础在概念（定义、象限、弧度）和基本关系（同角、诱导），核心在恒等变换（和差、倍角、辅助角、降幂）的熟练与灵活运用，落脚点在研究三角函数性质（通过标准形式）和解三角形（工具性应用）。考生需构建完整的知识网络，掌握核心变换技巧，并通过大量练习提升运算能力和解决综合问题的能力。

老罗最后的提醒：

1. 函数性质的综合应用： 一道题中综合考查单调性、奇偶性、周期性、对称性等多种性质。

2. 函数图象的应用：给出函数图象，读取信息（定义域、值域、单调区间、极值点、零点、对称性、周期性、变化趋势等）。或者根据函数性质画出草图辅助解题。

3. 函数模型的实际应用： 将实际问题（增长率、利润、最优问题、运动问题等）抽象为函数模型，利用函数性质（特别是单调性、最值）解决问题。

4. 与方程、不等式的结合： 利用函数观点看方程（零点即方程根）、看不等式（解集即函数值满足不等式的x集合）。常考零点存在性定理、利用单调性判断方程根个数/解不等式。

5. 与导数的结合（高阶）：利用导数工具研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性等，这是高考和大学数学的重点和难点。

最后，祝福同学们高考胜利！