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高中数学学习(15)——幂函数

yund56 2025-06-10 18:35 16 浏览

从这一节开始，我们正式进入幂指对三大函数的讲解。

今天我们讲解其中最简单的幂函数。

1，幂指对三函数的区分：

幂函数、指数函数、对数函数其实都是围绕

来的，就看谁是x谁是y了。

如果C为y，A为x，则为幂函数；

如果C为y，B为x，则为指数函数；

如果C为x，B为y，则为对数函数。

大家可以看到，指数函数和对数函数就是把x和y互换了一下，像这样的两个函数，我们叫做互为反函数，反函数的符号为

这里要特别注意一下，我们曾经讲过的一个数或者式子的-1次方是对其求倒数的意思，但是这里的-1次方可不是给函数f（x）求倒数，而是反函数。

通过2022年高考的教训，像这样的学过但是不常用的易混知识点我们必须着重强调一下。

2022年高考，大家就是被一个小学概念——互质给搞败了。

好的，指数函数、对数函数我们放到后面再讲，这节课我们专门讲幂函数。

2，何为幂函数？

像这种形式的函数就叫幂函数。

特别注意：幂函数的系数一定为1，项数也只能有一项，也就是说，上式中只有a可以更换成取值范围内的任意数，其他任何改变，它都不再是幂函数了，而是类幂函数。

3，常见幂函数：

幂函数包含了许多函数，我们的主要任务就是记忆其中5个常用的幂函数，并且通过它们总结出幂函数的规律。

下表中内容一定要重点记忆，特别是最上面的图像：

看不清？放大给你看：

4，幂函数的特点：

下面，我们就要根据这5个常见幂函数总结幂函数的特点了：

（1）所有幂函数都过点（1,1）；

（2）所有幂函数都在（0，+∞）上有定义；

（3）当a>0时，所有幂函数图像都过原点，且在[0，+∞）上是增函数；

（4）当a<0时，幂函数在（0，+∞）上是减函数；

（5）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数；若a=p/q，p,q都为整数且互质时，当p,q同为奇数时，幂函数为奇函数；当p为奇数q为偶数时，幂函数为偶函数；当p为偶数q为奇数时，幂函数为非奇非偶函数；

（6） 当a>1时，幂函数在（0，+∞）上是下凸函数；当0<a<1时，幂函数在（0，+∞）上是上凸函数；当a<0时，幂函数在（0，+∞）上是下凸函数；

（7）如果把所有的幂函数画在同一坐标系内，并做直线x=1会发现：

在直线x=1右侧，幂函数的指数由下向上逐渐增大；

（8）若幂函数与坐标轴相交，交点必为（0,0）。

5，幂函数比较大小：

比较大小是高考高频题型，类型很多。

关于幂函数比较大小，有两种做法：

（1）尽力转化为同底数或同指数，然后利用单调性比较大小；

（2）如果无法转化为同底数或者同指数，则利用其规律找中间值比较大小，中间值一般为“1”。

以上就是幂函数的全部内容了，下节课我们开始讲指数函。

大家如果喜欢或者需要这份高中数学学习资料，别忘了点赞关注，我会以最简单明了的方式给大家讲解高中数学，帮助需要的高中生拿个好成绩。

反函数知识点

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高中数学学习(15)——幂函数

1，幂指对三函数的区分：

2，何为幂函数？

3，常见幂函数：

4，幂函数的特点：

5，幂函数比较大小：

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