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数学必学内容《对数函数》少有人知的知识点学习。

yund56 2025-03-29 17:52 18 浏览

上节课我们学习了指数函数，明白了指数函数的定义域以及值域，还有就是指数函数图像的变化情况，那么，这节课要学习的对数函数和指数函数又有哪些关联呢？

我们从指数与对数的关联入手，一起来研究一下对数函数的知识点。

我们经常说的指数函数和对数函数，其实是一对反函数，只需要求出指数函数的反函数，那么对数函数解析式就可以得到。

解析步骤：因为y＝a（a＞0，且a≠1）

所以：x＝logy（a＞0，且a≠1）

在这里，因为我们习惯性用y表示因变量，x表示自变量，所以我们可以将上述式子进行转化，即可得到对数函数公式，即：y＝logx（a＞0，且a≠1）

定义：一般地,函数y＝logx(a＞0,且a≠1)叫作对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是{x|x＞0}.

有关对数函数，我们在了解时，也需要将底数划分为两个范围去了解，①：0＜a＜1，②：a＞1

在①范围内，有很多这样的数字存在，所以我们取几个例子加以说明，以类推法的形式进行学习。

假设a∈(0，1)，取a＝ 1/2 ，a＝ 1/3 ，a＝ 1/4 ，a＝ 1/8 因为底数已经知道，我们给出图像，看一下图像的变化过程。

通过上组图像的走势图，我们可以看出，当底数越来越小的时候，图像递减的速度趋于平缓，就是说越靠近x轴方向。

我们再来观察一下，当a的取值满足a∈（0，1）时，且a＝1/2，a＝1/3，……a＝1/n时，类推法即可得到，这个对数函数的定义域为{x|x＞0}值域为{y|y∈R}，并且函数在定义域内一直单调递减，还可称为减函数。

我们再来看一下以上图像，如果将图像用一个直角坐标系表示出来，我们可以清楚看到，当底数越小时，其中x＞1时，y越来越靠近x轴，当0＜x＜1时，y越来越靠近y轴。

并且：x＞1时，y＜0，x≤1时，y≥0.

我们用同样的方法去观察一下，当a∈(1，＋∞）时，函数图像又有哪些特点。

我们去a＝2，a＝3，a＝4，…，a＝8，…，a＝n时，图像又是怎样变化的。

我们可以看出，图像随着底数的增加，函数图像一直保持着单调递增的趋势，所以当函数一直增长到n时，也可以得到该对数函数是增函数，通过观察可得，底数大于1时，定义域可表示成{x|x＞0}，值域为{y|y∈R}.

通过图像，还可得出，当x≥1时，y≥0，当0＜x＜1时，y＜0.

这节课的内容就讲到这里，我们下节课再见，感兴趣的朋友，可以点赞关注，我们一起进步。

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