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数学中一定要学的《复合函数》都有哪些知识点。

yund56 2025-03-24 18:53 3 浏览

前面我们学习了函数的概念，也明白了基本初等函数的表示，今天我们一起来看一下，有关复合函数的知识点，又是怎样的一种函数呢？

要想了解复合函数，首先我们先来看一下有关复合函数的定义是怎么表达的？

在我理解，复合函数，实际上就是有两种及两种以上的基本初等函数复合而成，但是在这个过程中，要满足部分条件，才能称之为复合函数。

定义：设函数y＝f(u)的定义域为D，而函数u＝ Ψ (x)的值域为Z，若D∩Z≠，则称函数y＝f[Ψ(x)]为x的复合函数。

在这里面，其中x是自变量，u是中间变量，y是因变量。

像这样讲解，可能大家对于复合函数还是不好理解，可能会感觉很抽象，简单理解，只需要掌握三个问题就可以啦。

第一就是函数的类型，两个函数可以复合的前提是它们的函数类型不同，就是说三角函数可以和对数函数复合，如：㏒[sin（x）]，但是类型相同就不能复合，如：(x^2)^3

第二就是复合函数定义域与值域的交集，意思就是说外函数的定义域要与内函数的值域有共同部分，才能确保复合函数的存在。

第三就是要有中间变量，中间变量实际上就是连接内外函数的桥梁，其中内函数的值域就是外函数的定义域。

根据上述的讲解，我们来看一个例题，以便加深理解，如下所示：

分析：通过题目观察，我们要解决的问题就是，将两个函数进行复合，成为一个新的函数，但是这个过程中，我们要考虑三个问题，第一是函数是否是不同函数，第二是两个函数的值域和定义域是否有公共部分，第三是以谁为中间变量，通过这几个问题，我们来一起分析一下。

所以说，根据具体情况，我们可以将复合函数表示成以上情况，因为两种相同类型函数不能复合，所以f(x)＝x与Ψ(x)＝x＋2以及Ψ(x)＝x^2－1不能复合称为新函数。

首先我们来讨论第一种情况，当Ψ(x)＜1时

求解可得到x的取值范围有两个，进而可得两个复合函数模型。

第二种情况，当Ψ(x)≥1时

求解可以得到两个取值范围，对应的复合函数可以划分为两个区间。

最后我们将这个复合函数进行合并，就可以得到一个新的复合函数模型。

大家可以看出来，这个知识点其实难度不大，主要了解的就是，在什么情况下复合函数才能成立，并且要怎样去构成复合函数模型是很关键的问题。

另外和大家说一下，基本初等函数和初等函数是一样的嘛？

所谓的初等函数，是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用式子表示的函数，称为初等函数，但是基本初等函数有五种，即：对数函数，指数函数，幂函数，三角函数，反三角函数。

今天的内容就讲到这里，下节课再见，有不同看法的朋友，评论区留言讨论。

基本初等函数的定义

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