高中数学知识——函数的定义及其表示方法

yund56 2025-03-23 21:05 32 浏览

函数的定义

一般地,给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x), x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域。所有函数值组成的集合{yly=f(x), x∈A}称为函数的值域。

注意：
1、对于任意一个x值，y值是唯一确定的。
例：，对于x在(-1,1)内的某些值，y有两个值与之对应，所以它不是函数。
2、表示同一个函数：定义域相同并且对应关系也相同
3、符号差异不改变对应关系： f(x)=x和 f(t)=t是同一函数。

函数的表示方法

解析法

定义：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
例：y=3x-2
优点：简洁、准确，可以通过解析式进行各种运算和推理，便于研究函数的性质。
缺点：不够直观，对于一些复杂的解析式，不容易直接看出函数的变化规律。

列表法

定义：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例：如某班学生的数学考试成绩表，列出学生的姓名和对应的成绩。
优点：直观、具体，可以直接从表格中获取函数值，适用于自变量取值较少的情况。
缺点：不能全面地反映函数的变化规律，对于自变量取值较多或连续的情况不太适用。

图象法

定义：用函数的图象表示函数的方法称为图象法。
优点：非常直观，可以清晰地看出函数的变化趋势、单调性、最值等性质。
缺点：不够精确，从图象上获取的函数值可能存在一定的误差。

分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。

例：出租车的收费标准，不超过3公里收费8元，超过3公里后每公里收费2元。

设行驶的路程为x公里，收费为y元，则可表示为

习题

已知f(x)是二次函数，且f(0)=0，f(x + 1)=f(x)+x + 1，求f(x)的表达式。

解题思路：因为是二次函数，先设出一般式，再根据给定条件构建方程求解系数。设，利用已知条件f(0)=0，f(x + 1)=f(x)+x + 1列出方程组，求解a、b、c的值。
答案：

函数的表示方法

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