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积分变换学不会?别学复变函数了——从微分方程开始吧

yund56 2025-03-04 11:59 7 浏览

我是菜鸡速通理工基础,在大学里教电工理论和工科硕士的数学。欢迎关注,共同交流进步,更欢迎批评。

需要书的,可以关注私信我

这篇文章的主要目的,是推荐积分变换、复变函数的各种水平的好书和少量视频。下面的书,差不多我都买来读过。虽然已经学了近10年,应该还是一门外汉。因此限于本鸡的水平和经验,不可能提到所有好的书和视频,但是我自信对各种非职业玩家应该够用了;职业选手请直接无视。另外,本文不可避免地包含了个人喜好,请多多包涵。

复分析》是分析学的主要分支之一,这个学科本身已经非常深入。因此,普通人不要指望能学懂。然鹅,由于复分析(实际上是积分变换)的应用几乎遍及所有的理工科,能显著影响后续课程的学习,因此在大学里属于通识教育(事实上你可能永远都用不到复分析),当然更要有专门的复分析选手,促进这门有用学科本身的发展。不同的学校和系科,这门课程水平可能差别很大。没有能力自编优秀教材的学校,比如理工科,基本上用西交王绵森《复变函数》、东南张元林《积分变换》,并且一般只开一门课;高水平的大学一般都有自己的书,比如哈工大、华中等等。数学、物理的要深一些,北大、武大、川大等名校一般都有自己的书。

先把一句话撂这了:绝大多数非职业玩家,学复变的主要目的在于学积分变换;而学积分变换的目的,主要在于解微分方程和偏微分方程

下面是我学习的过程和教学体会,没有兴趣的可以直接跳到后面介绍视频和书的大标题。非职业玩家,看到第三段,忽略你不感兴趣的部分,就差不多了。由于完全是个人体验,难免错误,欢迎批评。

一、 我的教、学体会

最早是20年前,读大学时,开过这门课,课本当然是王绵森。由于老师基本上完全念课本,一字不落的那种,所以理所当然的、发自内心的"厌恶"这门课——其实也不完全怨老师了,当年我还不会微积分;也谈不上讨厌了,去了几次就永别了。这只能呵呵了。

真正开始学这门课,是2010年,开始教电工原理,不懂、不会貌似不行了。由于西交课本效率太高(太简略),只好换川大钟玉泉的《复变函数论》,基本上同样高效率,所以学了四年没学懂,又尴尬了——由于慢慢学会了选书和读书——读了若干本以后再回来,终于爱上了王绵森和钟玉泉,这两本真的是好书啊——奈何初学者没人教的自学扛不住


在我教的过程中,主要是应用拉氏变换。这个学了大概6遍,才终于自己摸出套路来——就是邱关源《电路》的拉氏变换简表——基本上闭着眼也能推出来(听过我电路课的选手,都见识过我速推拉氏变换简表);偏微分方程需要的积分变换解法,也没有困难了。

说这个主要是要强调我的一个体会,工科复变教学普遍存在问题:复变函数的重要性被过度夸大了——教复变的少有会物理和工程的——你简直了,教工程数学的不用懂工程?????不用关心一下工程数学到底用在什么地方、怎么用?????这就是现状!!!

根据本人自学和教学的体会,我现在坚持认为,除非专门的学术职业玩家,一般根本用不到复变函数。学积分变换,完全不用学复变函数!事实上,绝大多数人,学一两节复数就足够了。对于部分要学习控制论的选手,只要自己补一下辐角原理(高水平的再补一点儒歇定理和推论),也不需要完整地学复变。

下面关于积分变换的内容,不可避免要用一些术语

积分变换,特别是积分反变换,从本质上讲——我不想写任何的公式——的确是复积分——柯西积分公式或者柯西留数定理——的应用。然鹅,只要注意到积分变换是一一对应的,也就是原函数唯一对应其像函数;更重要的是,积分变换本身根本没告诉你,最重要的积分变换对,对拉氏变换而言是指数函数、带t幂的指数函数,这件事源自微分方程的齐次通解——只有单根、重根两种本质的情况。并且拉氏变换最重要的性质也是与微分方程求解有关:线性、微分(积分)、卷积(和平移定理)、初值、终值定理。

因此,学积分变换,要从微分方程特别是线性常系数微分方程解的结构定理开始。

傅里叶变换虽然是拉氏变换的特例,但是傅里叶变换基本变换对却不是指数函数,这里我不想再讲更多了。

拉氏变换的用处不止微分方程,伽马函数、矩母函数、含三角函数的积分,通通可以用拉氏变换搞出来。因此理工科的拉氏变换,怎么强调都不过分。

z变换,如你所料,应该从差分方程开始。

一般理工选手,看一两个视频,再配合一两本参考书,肯定行了。

二、 学积分变换以及复变,一定要看视频,能大幅降低你的压力。大部分都可以在哔哩哔哩搜讲师名字就可以搜到

1. 从微分方程开始的、不讲复变的拉氏变换、傅里叶变换——台湾省林宗志老师两个系列(微分方程、傅里叶分析用于偏微分方程)——全程白板手写,细腻,最适合工科和低年级物理选手,没有之一(虽然内容浅些);这个看完以后,初步的微分方程、偏微分方程、积分变换基本上都行了。哎,真希望二十年前、哪怕十年前能看到这样的。

2. 萧荫庵(这个B站竟然搜不到,可关注私信),最适合工科考前突击预习;

3. 刘太顺(手写,画质略次),适合数学系初学。

4. 台湾省——国立交通大学吴培元(可关注私信),适合工科物理、课本是大名鼎鼎的j.b.brown,非常友好这本书是我能读懂的第一本复变。

5. 中科院王跃飞等《复分析》,课本是大名鼎鼎的阿尔福斯,这本书极富盛名

三、 单复变初步的、比较友好的、值得读的一些课本


1、 机械工业出版社J.B.Brown的《复变函数及应用》,有中文版。这本书出奇地友好,英文版我第一次读,都毫无压力地看完了。

2、 机械工业出版社Saff的《复分析基础及工程应用》,有中文版。这本书也非常友好,非常生动,作者之一是理工选手,竟然有一个习题讲到Smith圆图,这个简直了,电专业传输线分析的基本工具。(下图右边是加理工apotstol的,也很独特,与rudin的分析齐名,当作进阶更合适些)



3、 哈工大出版社 普里瓦洛夫《复变函数引论》(可关注私信),前苏联名著,老普还有一大坨复变习题书。前苏联的书普遍严谨细腻,如果只能有一本单复变课本,我就选这个了。



4、 人民邮电出版社Needham著、齐民友译《复分析——可视化方法》。讲了大量的几何、包括非欧几何,可以作为复流形的先导。这本书超级独特,简直绝无仅有,几乎所有定理都是用作图的方式证明——你能想象泰勒级数还能作图?漂亮。——据作者自称——这是牛顿的方法。但是比较墨迹,并不是所有的问题都适合用几何方法的,所以如果有时间可以看。亚马逊上有我的书评,署名是xxxxxxxx



5、 上面1~3选两本,配合王绵森(理工科)或者钟玉泉(数学系)+张元林再加一两本微分方程,就行了。




四、 应用和进阶,有些初学者莫入

1、 应用的拉夫连季耶夫《复变函数论方法》,前苏联名著。这个简直了,流体、传输线、拉氏变换………基本上数学上、工程上的应用不能全有了,但可以说是最全了。



2、 沈燮昌的《复变函数逼近论》,适合数值、优化等。(国内复变名家,沈先生还有《大学基础数学自学丛书》的复变函数论基础)


3、 进阶的

a) Ahlfors《复分析》,见上面视频,不算难了


以下初学者慎入

b) serge lang《complex analysis》,这个还有题解,国内教的内容不到这本书的一半;另外,lang写了好多书,他的《代数》是公认的权威



c) 龚昇《简明复分析》,读过《简明微积分》的选手,不可能不知道龚昇老先生,一如既往的自成一家。



d) 其他还有convey、stein等等很多名著。


e) Rudin的《实分析与复分析》这个简直了,会测度和泛函的选手,看这个简直就是享受。没有符号和概念推理的选手,比如数学系硕士以下,这个就别碰了。



f) 萧荫堂《多复变函数论》,这个毫无疑问是职业玩家的了,没法解释了。



复变自身进阶大概三个方向:复测度、多复变、复流形;这种水平的肯定要去图书馆了


总结

理工科绝大多数选手,不需要学复变。当然职业玩家除外。重要的是,职业玩家也要有其特定的兴趣。或许少量硕士以上的物理选手、信号处理或控制论选手等等要用点复积分。如果不是你需要的,请在能顺利对付考试的基础上,坚决抵制复分析。


后面打算推荐微分方程、偏微分方程的书

再次感谢阅读,欢迎关注。



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